ゴルドバッハ予想

こんばんはー♪
私は数論が大好きなんですが、今日はその中でも特に単純明快で、難しい問題を紹介します。
「ゴルドバッハ予想」と呼ばれるこの予想は、有名な未解決問題です。

「４以上の偶数は全て２つの素数の和で表わすことができるであろう」

これがゴルドバッハ３元１次予想と呼ばれるものです。

４＝２＋２
６＝３＋３
８＝５＋３
１０＝５＋５＝７＋３
１２＝７＋５
１４＝７＋７＝１１＋３
１６＝１３＋３＝１１＋５
１８＝１３＋５＝１１＋７
２０＝１７＋３＝１３＋７
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２ｎ＝Ｐ１＋Ｐ２

このように１通りで表わすことが出来る偶数と２通り以上で表わすことが出来る偶数が存在します。偶数が大きくなっていくと何通りかで表わすことが出来ることのほうが多くなっていくみたいです。問題は何故このように２つの素数の和で表わすことができるのか？ということです。
簡単なように見えて今だ解けない有名な未解決問題となっています。ハーディーとリトルウッドによって「少なくても３つの素数の和で表わすことができる」というところまで証明されていますが、問題解決までには至っていません。

２通りの素数に分解することをゴルドバッハ分解と言うのですが偶数の数が多くなるにつれ、分解される組合せが増加します。

例えば

４６６８＝５０通り
１１６７２＝１００通り
１９２４６＝１５０通り
２７９０８＝２００通り
３６２４２＝２５０通り
４５９９８＝３００通り
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８５６１６＝５００通り
９５２７６＝５５０通り

このように偶数の増加につれ、分解される組合せ数も増加します。また、６で割り切れる偶数は分解される組合せ数が多いのが特徴です。これは、３以上の素数が「６ｎ±１」という形式で存在するからです。その中間にある「６で割り切れる偶数」は前後が双子素数の場合もあるわけですから、他の偶数より２倍程度、分解される組合せ数が多い傾向にあります。

数が巨大化していくに従ってゴルドバッハ分解数は大きくなっていくのでしょうか？間違いなく大きくなっていくだろうと予想は出来ます。しかし、たった一つの反例で全ては崩壊します。その反例を探すためにチューリングマシーンで検索するのか？それとも背理法や帰納法を用いて反例がないことを証明できるのか？実際はもっと複雑でゲーデルの不完全性定理に含まれる問題なのか？

この単純だけど難しい問題はとても興味をそそられます。